Упр.464 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В трапеции $$ABCD$$ ($$BC\parallel AD$$) известно, что $$AD=18\text{ см}$$, $$BC=14\text{ см}$$, $$AC=24\text{ см}$$. Найдите отрезки, на которые делится точкой пересечения диагональ $$AC$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AOD$$ и $$\triangle COB$$, где $$O$$ — точка пересечения диагоналей трапеции.

Так как $$AD \parallel BC$$, то

$$\angle ADO = \angle CBO,$$

а углы $$\angle AOD$$ и $$\angle COB$$ — вертикальные, значит,

$$\angle AOD = \angle COB.$$

Следовательно, $$\triangle AOD \sim \triangle COB$$ по двум углам.

Из подобия получаем:

$$\frac{OC}{AO}=\frac{BC}{AD}=\frac{14}{18}=\frac{7}{9}.$$

Тогда

$$AO=\frac{9}{7}OC.$$

Так как $$AC=AO+OC=24$$, имеем:

$$\frac{9}{7}OC+OC=24,$$

$$\frac{16}{7}OC=24,$$

$$OC=24\cdot \frac{7}{16}=10{,}5.$$

Тогда

$$AO=24-10{,}5=13{,}5.$$

Ответ

$$AO=13{,}5\text{ см},\quad OC=10{,}5\text{ см}.$$