Упр.463 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

• В трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$BC$$ и $$AD$$ диагонали пересекаются в точке $$O$$, $$BO=4\text{ см}$$, $$OD=20\text{ см}$$, $$AC=36\text{ см}$$. Найдите отрезки $$AO$$ и $$OC$$.

В трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$ параллельны. Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AOD$$ и $$\triangle COB$$.

$$\angle ADO = \angle CBO$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$AD \parallel BC$$ и секущей $$BD$$.

$$\angle AOD = \angle COB$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle AOD \sim \triangle COB$$ по двум углам.

Из подобия получаем:

$$\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{BO}=\frac{20}{4}=5.$$

Значит, $$AO=5OC$$.

Так как $$AC=AO+OC=36$$, то

$$5OC+OC=36$$

$$6OC=36$$

$$OC=6$$

Тогда

$$AO=5\cdot 6=30.$$

Ответ

$$AO=30\text{ см},\quad OC=6\text{ см}.$$