Упр.461 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 461. Из вершины прямого угла треугольника опущена высота на гипотенузу. Сколько подобных треугольников образовалось при этом?

Подробный ответ

Пусть в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$B$$ прямой, а $$BH$$ — высота, опущенная на гипотенузу $$AC$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AHB$$ и $$\triangle ABC$$.

$$\angle AHB = \angle ABC = 90^\circ,$$

$$\angle BAH = \angle CAB$$ — общий угол.

Следовательно, $$\triangle AHB \sim \triangle ABC$$ по первому признаку подобия треугольников.

Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle BHC$$ и $$\triangle ABC$$.

$$\angle BHC = \angle ABC = 90^\circ,$$

$$\angle BCH = \angle ACB$$ — общий угол.

Следовательно, $$\triangle BHC \sim \triangle ABC$$ по первому признаку подобия треугольников.

Кроме того, треугольники $$\triangle AHB$$ и $$\triangle BHC$$ также подобны, так как каждый из них подобен треугольнику $$\triangle ABC$$.

Итак, образовалось три подобных треугольника: $$\triangle ABC$$, $$\triangle AHB$$ и $$\triangle BHC$$.