Упр.458 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 458. Докажите, что два равнобедренных треугольника подобны, если углы, противолежащие основаниям, равны.

Подробный ответ

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Для $$\triangle ABC$$ имеем:

$$\angle A=\angle C,$$

а так как сумма углов треугольника равна $$180^\circ,$$ то

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$\angle A+\angle B+\angle A=180^\circ,$$

$$2\angle A=180^\circ-\angle B.$$

Аналогично для $$\triangle A_1B_1C_1$$:

$$\angle A_1=\angle C_1,$$

$$\angle A_1+\angle B_1+\angle C_1=180^\circ,$$

$$\angle A_1+\angle B_1+\angle A_1=180^\circ,$$

$$2\angle A_1=180^\circ-\angle B_1.$$

По условию $$\angle B=\angle B_1,$$ значит,

$$2\angle A=180^\circ-\angle B=180^\circ-\angle B_1=2\angle A_1,$$

откуда $$\angle A=\angle A_1.$$

Тогда и $$\angle C=\angle C_1$$, а также $$\angle B=\angle B_1.$$ Следовательно, два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, значит,

$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$

по первому признаку подобия треугольников.