Упр.454 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. На стороне $$CD$$ параллелограмма $$ABCD$$ (рис. 148) отмечена точка $$E$$, прямые $$BE$$ и $$AD$$ пересекаются в точке $$F$$, $$CE = 8$$ см, $$DE = 4$$ см, $$BE = 10$$ см, $$AD = 9$$ см. Найдите отрезки $$EF$$ и $$FD$$.

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны, значит

$$CD=CE+DE=8+4=12\text{ см},$$

следовательно, $$AB=CD=12\text{ см}.$$

Рассмотрим треугольники $$ABF$$ и $$DEF$$. Так как $$AB \parallel CD$$, а точки $$D,E,C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle BAF=\angle EDF,$$

$$\angle BFA=\angle DFE.$$

Следовательно, $$\triangle ABF \sim \triangle DEF$$ по двум углам.

Из подобия получаем:

$$\frac{BF}{EF}=\frac{AF}{DF}=\frac{AB}{DE}=\frac{12}{4}=3.$$

Тогда $$BF=3EF$$, а так как $$BE=BF+EF=10\text{ см},$$ то

$$3EF+EF=10,$$

$$4EF=10,$$

$$EF=2{,}5\text{ см}.$$

Аналогично из $$\frac{AF}{DF}=3$$ и $$AF=AD+DF$$ получаем

$$3DF=AD+DF,$$

$$3DF=9+DF,$$

$$2DF=9,$$

$$DF=4{,}5\text{ см}.$$

Ответ

$$EF=2{,}5\text{ см},\quad FD=4{,}5\text{ см}.$$