Упр.450 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 450. На рисунке 145 DE перпендикулярна АВ, ВС перпендикулярна AD. Укажите на этом рисунке все пары подобных треугольников.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$\triangle ADE$$ и $$\triangle ABC$$.

Так как $$DE \perp AB$$, то $$\angle AED = 90^\circ$$.
Так как $$BC \perp AD$$, то $$\angle ACB = 90^\circ$$.

Кроме того, $$\angle DAE = \angle BAC$$, так как это один и тот же угол при вершине $$A$$.

Следовательно, $$\triangle ADE \sim \triangle ABC$$ по двум углам.

Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle BFE$$ и $$\triangle DFC$$.

Имеем $$\angle BEF = 90^\circ$$ и $$\angle DCF = 90^\circ$$, так как $$BE \subset AB$$, $$DE \perp AB$$ и $$DC \subset AD$$, $$BC \perp AD$$.

Также $$\angle BFE = \angle DFC$$ как вертикальные углы.

Значит, $$\triangle BFE \sim \triangle DFC$$ по двум углам.

Рассмотрим треугольники $$\triangle BFE$$ и $$\triangle BAC$$.

Так как $$BE \subset AB$$ и $$DE \perp AB$$, то $$\angle BEF = 90^\circ$$.
Так как $$BC \perp AD$$, а точка $$C$$ лежит на $$AD$$, то $$\angle BCA = 90^\circ$$.

Кроме того, $$\angle FBE = \angle BCA$$ как углы, образованные соответственно параллельными направлениями на рисунке, поэтому треугольники подобны по двум углам.

Итак, все пары подобных треугольников:

$$\triangle ADE \sim \triangle ABC \sim \triangle BFE \sim \triangle DFC.$$