Упр.448 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 448. На плоскости отметили 25 точек так, что среди любых трёх из них найдутся две точки, расстояние между которыми меньше единицы. Докажите, что существует окружность единичного радиуса, которая содержит не менее 13 данных точек.

Подробный ответ

Возьмём две из данных точек, расстояние между которыми наибольшее. Обозначим их $$A$$ и $$B$$. Тогда $$AB<1$$, иначе среди точек $$A$$, $$B$$ и любой третьей не нашлось бы двух точек, расстояние между которыми меньше единицы.

Построим окружности единичного радиуса с центрами в точках $$A$$ и $$B$$. Так как $$AB<1$$, то каждая точка плоскости, лежащая вне обеих окружностей, вместе с точками $$A$$ и $$B$$ образовала бы тройку, в которой расстояния от этой точки до $$A$$ и до $$B$$ не меньше $$1$$. Это противоречит условию.

Значит, каждая из остальных $$23$$ точек лежит внутри хотя бы одной из построенных окружностей. Следовательно, одна из этих окружностей содержит не менее

$$\frac{23}{2} > 11$$

то есть не менее $$12$$ из оставшихся точек. Вместе с центром этой окружности получаем не менее $$13$$ данных точек, лежащих в окружности единичного радиуса.

Что и требовалось доказать.