Упр.447 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 447. Окружность, центр которой принадлежит стороне АВ треугольника АВС, проходит через точку В, касается стороны АС в точке С и пересекает сторону АВ в точке D, причем AD : BD = 1 : 2. Найдите углы: 1) треугольника АВС; 2) треугольника BCD.
Обозначим радиус окружности через $$R$$. Так как центр окружности лежит на стороне $$AB$$, а окружность проходит через точку $$B$$ и касается стороны $$AC$$ в точке $$C$$, то $$OC \perp AC$$, а $$OB=OC=R$$.
Из рисунка видно, что точки $$D, O, B$$ лежат на одной прямой, значит $$BD$$ — диаметр окружности. Тогда $$DO=BO=R$$.
По условию $$AD:BD=1:2$$, значит $$AD=\frac12 BD$$. Но
$$ BD=DO+OB=R+R=2R, $$
следовательно,
$$ AD=\frac12\cdot 2R=R. $$
Тогда
$$ AO=AD+DO=R+R=2R. $$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOC$$. В нём $$AO=2R$$, $$OC=R$$, значит
$$ CO=\frac12 AO, $$
то есть треугольник $$AOC$$ — прямоугольный с углом $$\angle OAC=30^\circ$$. Тогда
$$ \angle COA=90^\circ-\angle OAC=60^\circ. $$
Так как точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, то
$$ \angle COB=180^\circ-\angle COA=120^\circ. $$
Треугольник $$BOC$$ равнобедренный, поскольку $$OB=OC$$. Поэтому его углы при основании равны:
$$ \angle OBC=\angle OCB. $$
Из суммы углов треугольника $$BOC$$ получаем:
$$ \angle OBC+\angle OCB+\angle COB=180^\circ, $$
$$ 2\angle OBC+120^\circ=180^\circ, $$
$$ \angle OBC=30^\circ. $$
Теперь найдём углы треугольника $$ABC$$:
$$ \angle ACB=\angle ACO+\angle OCB=90^\circ+30^\circ=120^\circ, $$
$$ \angle ABC=\angle OBC=30^\circ, $$
$$ \angle BAC=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ. $$
Для треугольника $$BCD$$:
так как $$BD$$ — диаметр, то вписанный угол, опирающийся на него, прямой:
$$ \angle BCD=90^\circ. $$
Кроме того, $$D, O, B$$ лежат на одной прямой, поэтому
$$ \angle CBD=\angle CBO=\angle OBC=30^\circ. $$
Тогда
$$ \angle BDC=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ. $$
Ответ
1) $$\angle A=30^\circ,\ \angle B=30^\circ,\ \angle C=120^\circ$$; 2) $$\angle CBD=30^\circ,\ \angle BDC=60^\circ,\ \angle BCD=90^\circ$$.