Упр.447 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
- Окружность, центр которой принадлежит стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$, проходит через точку $$B$$, касается стороны $$AC$$ в точке $$C$$ и пересекает сторону $$AB$$ в точке $$D$$, причем $$AD:BD=1:2$$. Найдите углы: 1) треугольника $$ABC$$; 2) треугольника $$BCD$$.
Обозначим радиус окружности через $$R$$. Так как центр окружности лежит на стороне $$AB$$, а окружность проходит через точку $$B$$ и касается стороны $$AC$$ в точке $$C$$, то $$OC \perp AC$$, а $$OB=OC=R$$.
Из рисунка видно, что точки $$D, O, B$$ лежат на одной прямой, значит $$BD$$ — диаметр окружности. Тогда $$DO=BO=R$$.
По условию $$AD:BD=1:2$$, значит $$AD=\frac12 BD$$. Но
$$BD=DO+OB=R+R=2R,$$
следовательно,
$$AD=\frac12\cdot 2R=R.$$
Тогда
$$AO=AD+DO=R+R=2R.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOC$$. В нём $$AO=2R$$, $$OC=R$$, значит
$$CO=\frac12 AO,$$
то есть треугольник $$AOC$$ — прямоугольный с углом $$\angle OAC=30^\circ$$. Тогда
$$\angle COA=90^\circ-\angle OAC=60^\circ.$$
Так как точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, то
$$\angle COB=180^\circ-\angle COA=120^\circ.$$
Треугольник $$BOC$$ равнобедренный, поскольку $$OB=OC$$. Поэтому его углы при основании равны:
$$\angle OBC=\angle OCB.$$
Из суммы углов треугольника $$BOC$$ получаем:
$$\angle OBC+\angle OCB+\angle COB=180^\circ,$$
$$2\angle OBC+120^\circ=180^\circ,$$
$$\angle OBC=30^\circ.$$
Теперь найдём углы треугольника $$ABC$$:
$$\angle ACB=\angle ACO+\angle OCB=90^\circ+30^\circ=120^\circ,$$
$$\angle ABC=\angle OBC=30^\circ,$$
$$\angle BAC=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ.$$
Для треугольника $$BCD$$:
так как $$BD$$ — диаметр, то вписанный угол, опирающийся на него, прямой:
$$\angle BCD=90^\circ.$$
Кроме того, $$D, O, B$$ лежат на одной прямой, поэтому
$$\angle CBD=\angle CBO=\angle OBC=30^\circ.$$
Тогда
$$\angle BDC=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$
Ответ
1) $$\angle A=30^\circ,\ \angle B=30^\circ,\ \angle C=120^\circ$$; 2) $$\angle CBD=30^\circ,\ \angle BDC=60^\circ,\ \angle BCD=90^\circ$$.
