Упр.446 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 446. Диагонали прямоугольника АВCD пересекаются в точке О, угол AOD на 60° больше угла АОВ, АС = 24 см. Найдите периметр треугольника COD.

В прямоугольнике $$ABCD$$ диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AC=BD,\qquad AO=BO=CO=DO=\frac{AC}{2}=12.$$

Пусть $$\angle AOB=x$$. Тогда смежный с ним угол $$\angle AOD$$ равен $$x+60^\circ$$. Так как они смежные, то

$$x+(x+60^\circ)=180^\circ,$$

$$2x=120^\circ,\qquad x=60^\circ.$$

Следовательно, $$\angle AOB=60^\circ$$. В треугольнике $$AOB$$ имеем $$AO=BO$$, значит он равнобедренный, а при вершине $$O$$ угол равен $$60^\circ$$. Тогда треугольник $$AOB$$ равносторонний, поэтому

$$AB=AO=BO=12.$$

Тогда периметр треугольника $$AOB$$ равен

$$P_{AOB}=12+12+12=36.$$

Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$. У них

$$AO=CO,\qquad BO=DO,$$

а углы $$\angle AOB$$ и $$\angle COD$$ — вертикальные, значит равны. Следовательно, $$\triangle AOB \cong \triangle COD$$ по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

$$P_{COD}=P_{AOB}=36.$$

Ответ

$$36\text{ см}$$