Упр.445 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Сторона $$BC$$ параллелограмма $$ABCD$$ в 2 раза больше стороны $$AB$$. Биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ параллелограмма пересекают прямую $$CD$$ в точках $$M$$ и $$K$$ соответственно (рис. 139). Найдите стороны параллелограмма, если $$MK=18\ \text{см}$$.

Подробный ответ

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны, значит $$CD=AB$$ и $$AD=BC$$, а также $$CD \parallel AB$$, $$AD \parallel BC$$.

Рассмотрим биссектрису $$AM$$ угла $$A$$. Так как $$AB \parallel CD$$, то угол между $$AM$$ и $$MD$$ равен углу между $$AM$$ и $$AB$$, следовательно, $$\angle AMD=\angle MAB$$. Значит, $$\triangle AMD$$ равнобедренный, поэтому $$AD=MD$$.

Аналогично для биссектрисы $$BK$$ угла $$B$$: из параллельности $$BC \parallel AD$$ и $$CD \parallel AB$$ получаем, что $$\triangle BCK$$ равнобедренный, значит $$BC=CK$$.

Точки $$M$$ и $$K$$ лежат на прямой $$CD$$, поэтому

$$MK=MD+CK-CD.$$

Подставим найденные равенства:

$$MK=AD+BC-CD.$$

Так как $$BC=2AB$$, а $$AD=BC$$ и $$CD=AB$$, то

$$MK=2AB+2AB-AB=3AB.$$

По условию $$MK=18$$ см, значит

$$3AB=18,$$

$$AB=6\text{ см}.$$

Тогда

$$BC=2AB=2\cdot 6=12\text{ см}.$$