Упр.444 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 444. В треугольнике АВС известно, что АВ = 8 см, ВС = 12 см, угол АВС = 120°, BD — биссектриса. Найдите отрезок BD.

Проведём через точку $A$ прямую $AE$, параллельную $BD$, и обозначим $E = AE \cap BC$.

Так как $BD$ — биссектриса угла $B$, то

$$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot 120^\circ=60^\circ.$$

Поскольку $AE \parallel BD$, имеем

$$\angle EAB=\angle ABD=60^\circ.$$

В треугольнике $EBA$:

$$\angle EBA=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ,$$

$$\angle AEB=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ.$$

Следовательно, треугольник $EBA$ равносторонний, значит

$$EB=AE=AB=8\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $AEC$ и $DBC$. Так как $AE \parallel BD$, то

$$\angle AEC=\angle DBC,\qquad \angle ACE=\angle DCB,$$

следовательно, $$\triangle AEC \sim \triangle DBC.$$

Найдём $EC$:

$$EC=EB+BC=8+12=20\text{ см}.$$

Из подобия треугольников:

$$\frac{BD}{AE}=\frac{BC}{EC}.$$

Подставим значения:

$$\frac{BD}{8}=\frac{12}{20},$$

$$BD=8\cdot \frac{12}{20}=4{,}8\text{ см}.$$

Ответ

$$4{,}8\text{ см}.$$