Упр.444 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$AB=8\ \text{см}$$, $$BC=12\ \text{см}$$, $$\angle ABC=120^\circ$$, $$BD$$ — биссектриса. Найдите отрезок $$BD$$.

Проведём через точку $$A$$ прямую $$AE$$, параллельную $$BD$$, и обозначим $$E = AE \cap BC$$.

Так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, то

$$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot 120^\circ=60^\circ.$$

Поскольку $$AE \parallel BD$$, имеем

$$\angle EAB=\angle ABD=60^\circ.$$

В треугольнике $$EBA$$:

$$\angle EBA=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ,$$

$$\angle AEB=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$EBA$$ равносторонний, значит

$$EB=AE=AB=8\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AEC$$ и $$DBC$$. Так как $$AE \parallel BD$$, то

$$\angle AEC=\angle DBC,\qquad \angle ACE=\angle DCB,$$

следовательно, $$\triangle AEC \sim \triangle DBC.$$

Найдём $$EC$$:

$$EC=EB+BC=8+12=20\text{ см}.$$

Из подобия треугольников:

$$\frac{BD}{AE}=\frac{BC}{EC}.$$

Подставим значения:

$$\frac{BD}{8}=\frac{12}{20},$$

$$BD=8\cdot \frac{12}{20}=4{,}8\text{ см}.$$

Ответ

$$4{,}8\text{ см}.$$