Упр.443 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

В равнобедренный треугольник, основание которого равно $$12\ \text{см}$$, а боковая сторона — $$18\ \text{см}$$, вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания этой окружности с боковыми сторонами треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$BH$$ — высота равнобедренного треугольника $$ABC$$, где $$H$$ — середина основания $$AC$$. Тогда

$$AH=CH=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6.$$

Так как $$AB=BC=18$$, то в равнобедренном треугольнике высота $$BH$$ является также биссектрисой.

Рассмотрим точку касания $$E$$ на стороне $$AB$$ и точку касания $$F$$ на стороне $$BC$$. Из свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности, получаем:

$$AE=AH=6,$$

$$CF=CH=6.$$

Тогда

$$BE=AB-AE=18-6=12,$$

$$BF=BC-CF=18-6=12.$$

Следовательно, $$\triangle EBF$$ равнобедренный, а прямая $$BH$$, проходящая через вершину $$B$$ и середину основания $$EF$$, является его высотой. Значит, $$BH \perp EF$$.

Но $$BH \perp AC$$, поэтому $$EF \parallel AC$$.

Тогда треугольники $$EBF$$ и $$ABC$$ подобны. Из подобия:

$$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{AB}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}.$$

Следовательно,

$$EF=\frac{2}{3}\cdot 12=8.$$