Упр.442 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Периметр равнобедренного треугольника равен $$48\text{ см}$$. Через середину высоты треугольника, опущенной на его основание, проведена прямая, параллельная боковой стороне. Найдите периметр треугольника, который эта прямая отсекает от данного.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AB=BC$$, а высота $$BH$$, проведённая к основанию $$AC$$, является также медианой. Значит,

$$AH=CH=\frac{1}{2}AC.$$

Пусть $$O$$ — середина высоты $$BH$$, тогда

$$BO=OH.$$

Через точку $$O$$ проведена прямая $$EF$$, параллельная боковой стороне $$BC$$. Тогда в треугольнике $$BHC$$ отрезок $$OF$$, проведённый через середину стороны $$BH$$ параллельно стороне $$HC$$, является средней линией, поэтому

$$HF=FC=\frac{1}{2}HC=\frac{1}{4}AC.$$

Следовательно,

$$AF=AH+HF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{4}AC=\frac{3}{4}AC.$$

Так как $$EF \parallel BC$$, то $$\triangle AEF \sim \triangle ABC$$, и коэффициент подобия равен

$$\frac{AF}{AC}=\frac{3}{4}.$$

Значит,

$$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{3}{4}.$$

Тогда периметр треугольника $$AEF$$ равен

$$P_{AEF}=AE+EF+AF=\frac{3}{4}AB+\frac{3}{4}BC+\frac{3}{4}AC$$

$$P_{AEF}=\frac{3}{4}(AB+BC+AC)=\frac{3}{4}P_{ABC}$$

$$P_{AEF}=\frac{3}{4}\cdot 48=36.$$

Ответ

$$36\text{ см}$$