Упр.441 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 441. Две окружности с центрами O1 и О2 и радиусами 8 см и 12 см соответственно имеют внешнее касание в точке А. Их общая внешняя касательная пересекает прямую (O1 O2) в точке В. Найдите расстояния от точки В до центров данных окружностей.

Подробный ответ

Пусть $$BE$$ — общая внешняя касательная, $$E$$ и $$F$$ — точки касания с окружностями с центрами $$O_2$$ и $$O_1$$ соответственно.

Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной:

$$O_2E \perp BE,\qquad O_1F \perp BE.$$

Значит, $$O_2E \parallel O_1F$$, а так как радиусы равны данным величинам, то

$$O_2E=12\text{ см},\qquad O_1F=8\text{ см}.$$

Окружности касаются внешним образом в точке $$A$$, поэтому

$$O_1O_2=O_1A+AO_2=8+12=20\text{ см}.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle O_2EB$$ и $$\triangle O_1FB$$. Они прямоугольные, так как $$O_2E \perp BE$$ и $$O_1F \perp BE$$, и имеют общий угол при точке $$B$$, следовательно, подобны.

Из подобия получаем:

$$\frac{O_2B}{O_1B}=\frac{O_2E}{O_1F}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.$$

Кроме того, точки $$O_2, O_1, B$$ лежат на одной прямой, причём

$$O_2B=O_2O_1+O_1B=20+O_1B.$$

Обозначим $$O_1B=x$$. Тогда $$O_2B=\frac{3}{2}x$$, и получаем:

$$\frac{3}{2}x=20+x,$$

$$\frac{1}{2}x=20,$$

$$x=40.$$

Следовательно,

$$O_1B=40\text{ см},$$

$$O_2B=20+40=60\text{ см}.$$