Упр.436 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 436. Точки М и К — середины сторон CD и AD квадрата ABCD соответственно. Пользуясь определением подобных треугольников, докажите, что треугольник MDK ~ треугольнику BCD.

В квадрате $$ABCD$$ все стороны равны, а диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Поэтому

$$BC=CD,\qquad \angle BCD=90^\circ.$$

Так как $$M$$ и $$K$$ — середины сторон $$CD$$ и $$AD$$, то

$$CM=DM,\qquad AK=DK.$$

Рассмотрим треугольник $$ADC$$. Отрезок $$KM$$ соединяет середины его сторон $$AD$$ и $$CD$$, значит, $$KM$$ — средняя линия треугольника $$ADC$$. Тогда

$$KM=\frac12 AC.$$

Но в квадрате диагонали равны, следовательно, $$AC=BD$$, и потому

$$KM=\frac12 BD.$$

В прямоугольном треугольнике $$DCK$$ имеем $$DK=\frac12 AD$$, а так как $$AD=CD$$, то

$$DK=\frac12 CD.$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$DCM$$

$$DM=\frac12 CD.$$

Следовательно,

$$MD=DK=\frac12 CD.$$

Теперь сравним треугольники $$MDK$$ и $$BCD$$:

$$\frac{MD}{CD}=\frac{DK}{BC}=\frac{MK}{BD}=\frac12,$$

а также

$$\angle MDK=\angle BCD=90^\circ.$$

Значит, треугольники $$MDK$$ и $$BCD$$ подобны по определению подобных треугольников.

Ответ

$$\triangle MDK \sim \triangle BCD.$$