Упр.431 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$\mathrm{ABC}$$ известно, что $$\mathrm{AB}=6\text{ см}$$. Через точку $$\mathrm{M}$$ стороны $$\mathrm{AB}$$ проведена прямая, которая параллельна стороне $$\mathrm{BC}$$ и пересекает сторону $$\mathrm{AC}$$ в точке $$\mathrm{K}$$. Найдите неизвестные стороны треугольника $$\mathrm{ABC}$$, если $$\mathrm{AM}=4\text{ см}$$, $$\mathrm{MK}=8\text{ см}$$, $$\mathrm{AK}=9\text{ см}$$.

Так как $$MK \parallel BC,$$ то треугольники $$AMK$$ и $$ABC$$ подобны.

Из подобия получаем отношение соответствующих сторон:

$$\frac{AM}{AB}=\frac{MK}{BC}=\frac{AK}{AC}.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{AM}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$\frac{MK}{BC}=\frac{2}{3}, \qquad \frac{AK}{AC}=\frac{2}{3}.$$

Найдём $$BC$$:

$$BC=\frac{3}{2}\cdot MK=\frac{3}{2}\cdot 8=12.$$

Найдём $$AC$$:

$$AC=\frac{3}{2}\cdot AK=\frac{3}{2}\cdot 9=13{,}5.$$

Ответ

$$BC=12\text{ см}, \quad AC=13{,}5\text{ см}.$$