Упр.422 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 422. Равносторонний треугольник покрыт пятью меньшими равными между собой равносторонними треугольниками. Докажите, что для покрытия достаточно и четырёх таких треугольников.

Обозначим вершины большого равностороннего треугольника и отметим середины его сторон. Тогда расстояния между соседними отмеченными точками равны, а все получившиеся треугольники — равносторонние и равные между собой.

Всего таких точек получается шесть. Если бы покрытие большим треугольником осуществлялось пятью равными меньшими равносторонними треугольниками, то по принципу Дирихле в одном из них оказались бы две отмеченные точки.

Но сторона равностороннего треугольника не может быть меньше расстояния между двумя точками, лежащими внутри него. Следовательно, сторона меньшего треугольника не меньше половины стороны большого треугольника.

Значит, большой равносторонний треугольник можно разбить на четыре равных равносторонних треугольника со стороной, равной половине стороны исходного треугольника. Поэтому для покрытия достаточно четырёх таких треугольников.

Ответ

Достаточно четырёх равных равносторонних треугольников.