Упр.420 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Сторона квадрата $$ABCD$$ равна $$a$$. На дуге $$AC$$ окружности с центром $$B$$, радиус которой равен $$a$$, отмечена точка $$E$$ такая, что угол $$BEC = 75^\circ$$. Найдите отрезок $$AE$$.

В квадрате $$ABCD$$ все стороны равны, значит $$AB=BC=a$$ и $$\angle ABC=90^\circ$$.

Точка $$E$$ лежит на дуге $$AC$$ окружности с центром в $$B$$ и радиусом $$a$$, поэтому $$BE=BC=AB=a$$.

Следовательно, треугольник $$BEC$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle BCE=\angle BEC=75^\circ.$$

Тогда

$$\angle EBC=180^\circ-75^\circ-75^\circ=30^\circ.$$

Теперь найдём угол $$\angle ABE$$:

$$\angle ABE=\angle ABC-\angle EBC=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$

В треугольнике $$ABE$$ имеем $$AB=BE$$, значит он равнобедренный, а при вершине $$B$$ угол равен $$60^\circ$$. Тогда треугольник $$ABE$$ равносторонний.

Следовательно,

$$AE=AB=a.$$

Ответ

$$a$$