Упр.419 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 419. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС пересекает луч АС в точке D. Докажите, что AB : BC = AD : CD.

Проведём через точку C прямую, параллельную BD, и обозначим точку её пересечения с прямой AB через E. Тогда $$CE \parallel BD.$$

Рассмотрим углы при секущей BC:

$$\angle ECB=\angle DBC.$$

Так как BD — биссектриса внешнего угла $$\angle CBF,$$ то

$$\angle DBC=\frac12\angle CBF.$$

Аналогично, при секущей AF имеем

$$\angle CEB=\angle DBF=\frac12\angle CBF.$$

Следовательно,

$$\angle ECB=\angle CEB.$$

Значит, треугольник CBE равнобедренный, поэтому

$$BE=BC.$$

Теперь применим теорему Фалеса к параллельным прямым $$CE \parallel BD$$ и секущим AB и CD. Получаем пропорцию

$$\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{CD}.$$

Так как $$BE=BC,$$ то

$$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}.$$

Отсюда

$$AB:BC=AD:CD.$$

Ответ

$$AB:BC=AD:CD.$$