Упр.418 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

На сторонах угла A отмечены точки B₁, B₂, C₁, C₂ так, что $$\frac{AB_1}{B_1B_2}=\frac{AC_1}{C_1C_2}$$ (рис. 127). Докажите, что $$B_1C_1\parallel B_2C_2$$.

Проведём через точку $$B_2$$ прямую, параллельную прямой $$B_1C_1$$, и обозначим точку её пересечения с прямой $$AC_1$$ через $$X$$.

Тогда в треугольнике $$AC_1B_2$$ прямая $$B_1C_1$$ параллельна $$B_2X$$, поэтому по теореме Фалеса

$$\frac{AB_1}{AC_1}=\frac{B_1B_2}{C_1X}.$$

Отсюда

$$C_1X=\frac{AC_1\cdot B_1B_2}{AB_1}.$$

По условию

$$\frac{AB_1}{B_1B_2}=\frac{AC_1}{C_1C_2},$$

значит

$$C_1C_2=\frac{AC_1\cdot B_1B_2}{AB_1}.$$

Следовательно,

$$C_1X=C_1C_2,$$

то есть точки $$X$$ и $$C_2$$ совпадают.

Значит, прямая $$B_2X$$ совпадает с прямой $$B_2C_2$$, а так как $$B_2X \parallel B_1C_1$$, то

$$B_1C_1 \parallel B_2C_2.$$

Ответ

$$B_1C_1 \parallel B_2C_2.$$