Упр.418 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 418. На сторонах угла A отмечены точки B1, B2, C1, C2 так, что AB1/B1B2 = AC1/C1C2 (рис. 127). Докажите, что B1C1 параллельна B2C2).

Проведём через точку $$B_2$$ прямую, параллельную прямой $$B_1C_1$$, и обозначим точку её пересечения с прямой $$AC_1$$ через $$X$$.

Тогда в треугольнике $$AC_1B_2$$ прямая $$B_1C_1$$ параллельна $$B_2X$$, поэтому по теореме Фалеса

$$\frac{AB_1}{AC_1}=\frac{B_1B_2}{C_1X}.$$

Отсюда

$$C_1X=\frac{AC_1\cdot B_1B_2}{AB_1}.$$

По условию

$$\frac{AB_1}{B_1B_2}=\frac{AC_1}{C_1C_2},$$

значит

$$C_1C_2=\frac{AC_1\cdot B_1B_2}{AB_1}.$$

Следовательно,

$$C_1X=C_1C_2,$$

то есть точки $$X$$ и $$C_2$$ совпадают.

Значит, прямая $$B_2X$$ совпадает с прямой $$B_2C_2$$, а так как $$B_2X \parallel B_1C_1$$, то

$$B_1C_1 \parallel B_2C_2.$$

Ответ

$$B_1C_1 \parallel B_2C_2.$$