Упр.417 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
1) по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам;
2) по высоте, проведенной к одной из сторон, и медианам, проведённым к двум другим сторонам.
1) Построение треугольника по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.
Пусть дана сторона $$AB$$ и медианы, проведённые к сторонам $$AC$$ и $$BC$$, длины которых равны соответственно $$CD$$ и $$EF$$.
Построим отрезок $$MN$$, равный отрезку $$AB$$.
Из точки $$M$$ проведём окружность радиуса $$\frac{2}{3}CD$$, а из точки $$N$$ — окружность радиуса $$\frac{2}{3}EF$$.
Обозначим через $$R$$ точку пересечения этих окружностей.
На луче $$MR$$ отложим отрезок $$RG=\frac{1}{2}MR$$, а на луче $$NR$$ — отрезок $$RH=\frac{1}{2}NR$$.
Проведём прямые $$NG$$ и $$MH$$. Их пересечение обозначим через $$K$$.
Тогда треугольник $$MNK$$ — искомый.
Действительно, точка $$G$$ является серединой стороны $$MK$$, а точка $$H$$ — серединой стороны $$NK$$, поэтому $$NG$$ и $$MH$$ — медианы треугольника $$MNK$$. Кроме того, по построению $$MN=AB$$, $$NG=\frac{2}{3}CD$$ и $$MH=\frac{2}{3}EF$$, значит заданные медианы получены верно.
2) Построение треугольника по высоте и медианам, проведённым к двум другим сторонам.
Пусть дана высота $$LR$$ и медианы, проведённые к двум другим сторонам, длины которых равны $$CD$$ и $$EF$$.
Проведём через точку $$L$$ произвольную прямую и восстановим в точке $$L$$ перпендикуляр к этой прямой. На перпендикуляре отложим отрезок $$LR=\frac{1}{3}EF$$.
Далее из точки $$M$$ проведём окружность радиуса $$\frac{2}{3}CD$$, а из точки $$N$$ — окружность радиуса $$\frac{2}{3}EF$$. Обозначим через $$R$$ точку пересечения этих окружностей.
На луче $$MR$$ отложим $$RG=\frac{1}{2}MR$$, на луче $$NR$$ — $$RH=\frac{1}{2}NR$$.
Проведём прямые $$NG$$ и $$MH$$, их пересечение обозначим через $$K$$.
Полученный треугольник $$MNK$$ — искомый: прямая, проведённая через $$L$$ перпендикулярно основанию, является высотой, а прямые $$NG$$ и $$MH$$ — медианы треугольника.
Ответ
Треугольник строится по указанным шагам: сначала восстанавливают вершину по данным медианам, затем проводят стороны через середины соответствующих отрезков; во втором пункте дополнительно задают высоту перпендикуляром через точку её основания.