Упр.416 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1) по стороне и углам, которые эта сторона образует с медианами, проведёнными к двум другим сторонам;
2) по двум медианам и углу между ними;
3) по высоте и медиане, проведённым к одной стороне, и углу между этой стороной и медианой, проведённой к другой стороне;
4) по трём медианам.

1) Пусть дана сторона $$AB$$ и углы, которые она образует с медианами, проведёнными к двум другим сторонам. Построим отрезок $$MN=AB$$ и от его концов отложим данные углы. Пусть их стороны пересекутся в точке $$F$$. Тогда $$F$$ — точка пересечения медиан, то есть центр тяжести треугольника.

На лучах $$MF$$ и $$NF$$ отложим соответственно отрезки

$$FR=\frac{1}{2}MF,\qquad FE=\frac{1}{2}NF.$$

Точка $$K$$, в которой пересекаются прямые $$ME$$ и $$NR$$, является третьей вершиной искомого треугольника. Действительно, точки $$E$$ и $$R$$ — середины сторон, а прямые $$ME$$ и $$NR$$ проходят через вершины и середины противоположных сторон, то есть являются медианами.

2) Пусть даны две медианы и угол между ними. Построим угол $$F$$, равный данному углу, и продолжим его стороны. На одной стороне отложим

$$FM=\frac{2}{3}AB,\qquad FE=\frac{1}{3}AB,$$

на другой стороне —

$$FN=\frac{2}{3}CD,\qquad FR=\frac{1}{3}CD.$$

Точку $$K$$ получим как пересечение лучей $$MR$$ и $$NE$$. Тогда $$F$$ — центр тяжести треугольника, а точки $$M$$, $$N$$, $$E$$, $$R$$ расположены так, что $$FM:FE=FN:FR=2:1$$, следовательно, построенный треугольник имеет заданные медианы и угол между ними.

3) Пусть даны высота и медиана, проведённые к одной стороне, и угол между этой стороной и медианой, проведённой к другой стороне. Построим две перпендикулярные прямые и обозначим их пересечение через $$H$$. На одной из них отложим

$$HN=CD.$$

Из точки $$N$$ проведём окружность радиуса $$AB$$ и отметим точку $$E$$ на пересечении с другой прямой. Затем выберем точку $$F$$ так, чтобы

$$NF:FE=2:1.$$

Построим угол $$FMK$$, равный данному углу $$O$$, и на луче $$ME$$ отложим

$$EK=ME.$$

Тогда точка $$K$$ — искомая вершина треугольника. Построение основано на свойствах медианы, делящей её на части в отношении $$2:1$$, и на том, что высота перпендикулярна стороне.

4) Пусть даны три медианы. Обозначим их длины через $$m_1$$, $$m_2$$ и $$m_3$$. Из точки $$R$$ проведём окружность радиуса $$\frac{2}{3}m_1$$, из точки $$G$$ — окружность радиуса $$\frac{2}{3}m_2$$, из точки $$R$$ — окружность радиуса $$\frac{2}{3}m_3$$. Точку $$N$$ возьмём в пересечении этих окружностей.

Далее отметим точку $$H$$ — середину отрезка $$RG$$. На луче $$NH$$ отложим

$$HM=NH,$$

а на луче $$NR$$ —

$$RL=\frac{1}{2}NR.$$

Точку $$K$$ получим как пересечение прямой $$ML$$ и окружности $$RG$$. Построенный треугольник имеет заданные три медианы, так как его центр тяжести делит каждую медиану в отношении $$2:1$$.

Ответ

Треугольник можно построить во всех четырёх случаях, используя свойство центра тяжести: он делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины.