Упр.415 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 415. Через точку О, принадлежащую данному углу, проведите отрезок, концы которого принадлежат сторонам данного угла и который делится точкой О: 1) пополам; 2) в отношении 2 : 3.
1) Деление пополам.
Через точку $$O$$ проведём прямую, параллельную $$AB$$, и обозначим через $$D$$ точку её пересечения с прямой $$AC$$.
На луче $$AD$$ отложим отрезок $$DM=AD$$. Тогда $$D$$ — середина отрезка $$AM$$.
Проведём прямую $$MO$$ и обозначим через $$N$$ точку её пересечения со стороной $$AB$$.
Так как $$OD \parallel AB$$, то в треугольнике $$AMN$$ прямая, проходящая через середину стороны $$AM$$ и параллельная основанию $$AN$$, пересекает сторону $$MN$$ в её середине. Следовательно, точка $$O$$ — середина отрезка $$MN$$.
Значит, отрезок $$MN$$ проходит через точку $$O$$ и делится ею пополам.
2) Деление в отношении $$2:3$$.
Через точку $$O$$ проведём прямую, параллельную $$AB$$, и обозначим через $$D$$ точку её пересечения с прямой $$AC$$.
Пусть $$E$$ — середина отрезка $$AD$$. На луче $$AD$$ отложим отрезок $$DM=3DE$$.
Проведём прямую $$MO$$ и обозначим через $$N$$ точку её пересечения со стороной $$AB$$.
Так как $$DE=\dfrac{1}{2}AD$$, то
$$DM=3DE=\frac{3}{2}AD.$$
Следовательно,
$$AM=AD+DM=AD+\frac{3}{2}AD=\frac{5}{2}AD,$$
а значит,
$$\frac{AD}{AM}=\frac{2}{5}.$$
Поскольку $$OD \parallel AB$$, то треугольники $$AMD$$ и $$AMN$$ подобны, и
$$\frac{AO}{AN}=\frac{AD}{AM}=\frac{2}{5}.$$
Тогда
$$ON=AN-AO=AN-\frac{2}{5}AN=\frac{3}{5}AN,$$
то есть
$$AO:ON=2:3.$$
Значит, отрезок $$MN$$, проходящий через точку $$O$$, делится ею в отношении $$2:3$$.
Ответ
1) Построить отрезок $$MN$$ так, чтобы $$O$$ была его серединой. 2) Построить отрезок $$MN$$ так, чтобы $$AO:ON=2:3$$.