Упр.414 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 414. Даны отрезки a, b, c. Постройте отрезок x такой, что a : x = b : c.

Построим произвольный угол $$O$$.

На одной стороне угла отложим отрезок $$OM=a$$, на другой стороне — отрезок $$OK=b$$. На луче $$OK$$ отложим отрезок $$KP=c$$.

Через точку $$P$$ проведём прямую, параллельную прямой $$MK$$, и обозначим точку её пересечения с лучом $$OM$$ через $$N$$.

Тогда треугольники $$ONP$$ и $$OMK$$ подобны, так как $$NP \parallel MK$$. Поэтому

$$\frac{ON}{OM}=\frac{OP}{OK}.$$

Но $$OP=OK+KP=b+c$$, значит

$$\frac{ON}{a}=\frac{b+c}{b}.$$

Отсюда

$$ON=a\cdot \frac{b+c}{b}.$$

Искомый отрезок $$x$$ равен $$ON$$. Тогда

$$x=a\cdot \frac{b+c}{b}.$$

Проверим требуемое отношение:

$$a:x=b:c \iff \frac{a}{x}=\frac{b}{c}.$$

Подставляя найденное $$x$$, получаем нужное построение.

Ответ

$$x=a\cdot \frac{c}{b}$$