Упр.413 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 413. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен их полуразности.

Подробный ответ

Пусть в трапеции $$ABCD$$ точки $$E$$ и $$F$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно. Построим точки $$M$$ и $$N$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$.

Тогда в трапеции $$ABCD$$ отрезок $$MN$$ является средней линией, значит

$$MN \parallel AD \parallel BC,$$

$$MN=\frac{1}{2}(AD+BC).$$

Рассмотрим треугольник $$BAC$$. Так как $$M$$ — середина $$BA$$, а $$E$$ — середина $$AC$$, то $$ME$$ — средняя линия треугольника $$BAC$$. Следовательно,

$$ME \parallel BC,$$

$$ME=\frac{1}{2}BC.$$

Рассмотрим треугольник $$BDC$$. Так как $$F$$ — середина $$BD$$, а $$N$$ — середина $$CD$$, то $$FN$$ — средняя линия треугольника $$BDC$$. Следовательно,

$$FN \parallel BC,$$

$$FN=\frac{1}{2}BC.$$

Точки $$M, E, F, N$$ лежат на одной прямой, поэтому

$$MN=ME+EF+FN.$$

Подставим найденные выражения:

$$\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{1}{2}BC+EF+\frac{1}{2}BC,$$

откуда

$$EF=\frac{1}{2}AD-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AD-BC).$$

Так как $$ME \parallel BC$$ и $$MN \parallel BC$$, то $$EF \parallel AD \parallel BC$$.