Упр.412 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

На стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$ отмечена точка $$M$$ так, что $$AM:MB=4:3$$. В каком отношении медиана $$BK$$:
1) делит отрезок $$CM$$;
2) делится отрезком $$CM$$?

1) Проведём через точку $$M$$ прямую $$ME \parallel BK$$, где $$E \in AC$$.

Тогда в треугольнике $$ABK$$ по теореме Фалеса

$$\frac{AM}{AE}=\frac{BM}{KE}.$$

Из условия $$AM:MB=4:3$$, значит

$$\frac{AE}{KE}=\frac{AM}{BM}=\frac{4}{3}, \qquad AE=\frac{4}{3}KE.$$

Так как $$BK$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то $$K$$ — середина $$AC$$, следовательно

$$CK=AK=\frac12 AC.$$

Кроме того,

$$AK=AE+KE=\frac{4}{3}KE+KE=\frac{7}{3}KE,$$

откуда

$$KE=\frac{3}{7}AK=\frac{3}{14}AC.$$

В треугольнике $$MCE$$ прямая $$OK \parallel ME$$, поэтому

$$\frac{OM}{CO}=\frac{KE}{CK}.$$

Подставим найденные отношения:

$$\frac{OM}{CO}=\frac{\frac{3}{14}AC}{\frac12 AC}=\frac{3}{7}.$$

Значит, $$OM:CO=3:7$$.

2) Проведём через точку $$D$$ прямую $$KD \parallel CM$$, где $$D \in AB$$.

Тогда в треугольнике $$AMC$$ по теореме Фалеса

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AK}{KC}=1,$$

то есть $$D$$ — середина отрезка $$AB$$. Следовательно,

$$AD=DB.$$

Так как $$AM=4:3$$, то

$$AM=AD+DM=2DM,$$

откуда

$$DM=\frac12 AM=\frac{2}{3}MB.$$

В треугольнике $$BKD$$ прямая $$OM \parallel KD$$, поэтому

$$\frac{KO}{BO}=\frac{MD}{BM}=\frac{2}{3}.$$

Следовательно, $$KO:BO=2:3$$.

Ответ

1) $$3:7$$; 2) $$2:3$$.