Упр.411 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 411. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка М так, что ВМ : МС = 3 : 10. В каком отношении отрезок АМ делит медиану ВК треугольника AВС?

Подробный ответ

Пусть прямая, проходящая через точку $$K$$ параллельно $$AM$$, пересекает $$BC$$ в точке $$D$$. Тогда $$KD \parallel AM$$.

Так как $$BK$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то $$K$$ — середина стороны $$AC$$, значит $$AK=CK$$.

В треугольнике $$AMC$$ прямая $$KD$$ проходит через середину $$AC$$ и параллельна $$AM$$, поэтому точка $$D$$ — середина стороны $$MC$$. Следовательно,

$$MD=CD=\frac{1}{2}MC.$$

По условию $$BM:MC=3:10$$, значит

$$MC=\frac{10}{3}BM,$$

и тогда

$$MD=\frac{1}{2}\cdot \frac{10}{3}BM=\frac{5}{3}BM.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$DBK$$. В нём $$O$$ — точка пересечения прямых $$AM$$ и $$BK$$, а также $$OM \parallel KD$$, поэтому треугольники, образованные этими прямыми, подобны. Отсюда

$$\frac{BO}{OK}=\frac{BM}{MD}.$$

Подставим найденное отношение:

$$\frac{BO}{OK}=\frac{BM}{\frac{5}{3}BM}=\frac{3}{5}.$$

Значит, отрезок $$AM$$ делит медиану $$BK$$ в отношении $$3:5$$, считая от вершины $$B$$.