Упр.410 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $$60\text{ см}$$, а центр вписанной окружности делит медиану, проведённую к основанию, в отношении $$12:5$$. Найдите основание треугольника.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Значит, если $$BH$$ — медиана к основанию $$AC$$, то $$H$$ — середина основания, а $$BH \perp AC$$.

Центр вписанной окружности $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$, поэтому в треугольнике $$ABH$$ отрезок $$AO$$ делит угол при вершине $$A$$ пополам. Точка $$O$$ лежит на медиане $$BH$$, и по условию

$$BO:OH=12:5.$$

Рассмотрим треугольник $$ABH$$. По свойству биссектрисы:

$$\frac{BO}{OH}=\frac{AB}{AH}.$$

Тогда

$$\frac{12}{5}=\frac{60}{AH},$$

откуда

$$AH=60\cdot \frac{5}{12}=25.$$

Так как $$H$$ — середина основания, то

$$AC=2AH=2\cdot 25=50.$$

Ответ

$$50\text{ см}$$