Упр.409 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 409. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, равна 42 см, а основание относится к боковой стороне как 6 : 11. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Подробный ответ

Обозначим основание равнобедренного треугольника через $$AC$$, боковую сторону — через $$AB$$. Тогда по условию

$$AC:AB=6:11.$$

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Значит, если $$BH$$ — высота, то

$$AH=\frac12 AC.$$

Из отношения $$AC:AB=6:11$$ получаем

$$AH=\frac12 AC=\frac{3}{11}AB.$$

Пусть $$O$$ — центр вписанной окружности. Тогда он лежит на биссектрисе угла при вершине $$B$$, а в равнобедренном треугольнике эта биссектриса совпадает с высотой $$BH$$. Следовательно, точки $$B, O, H$$ лежат на одной прямой, причём $$OH$$ — радиус вписанной окружности.

В треугольнике $$ABH$$ отрезок $$AO$$ — биссектриса угла $$A$$, поэтому по теореме о биссектрисе

$$\frac{BO}{OH}=\frac{AB}{AH}=\frac{11}{3}.$$

Пусть $$OH=x$$, тогда $$BO=\frac{11}{3}x$$. Так как $$BH=BO+OH=42$$, имеем

$$\frac{11}{3}x+x=42,$$
$$\frac{14}{3}x=42,$$
$$x=9.$$

Следовательно, радиус вписанной окружности равен $$9$$ см.