Упр.408 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 408. В равнобедренном треугольнике DEF провели высоту ЕС к его основанию и на боковой стороне EF отметили точку А. Отрезки ЕС и DA пересекаются в точке О, причём АО : OD = 3 : 8. Найдите отношение ЕА : АF.

Подробный ответ

Так как треугольник $$DEF$$ равнобедренный, то высота $$EC$$, проведённая к основанию $$DF$$, является также биссектрисой угла $$E$$.

Точка $$O$$ лежит на отрезке $$EC$$, значит в треугольнике $$DEA$$ отрезок $$EO$$ — биссектриса угла $$DEA$$. По теореме о биссектрисе:

$$\frac{AO}{OD}=\frac{AE}{DE}.$$

По условию $$AO:OD=3:8$$, значит

$$\frac{AE}{DE}=\frac{3}{8}, \qquad AE=\frac{3}{8}DE.$$

Так как $$DEF$$ равнобедренный, то $$DE=EF$$. Тогда

$$AF=EF-AE=DE-\frac{3}{8}DE=\frac{5}{8}DE.$$

Следовательно,

$$EA:AF=\frac{3}{8}DE:\frac{5}{8}DE=3:5.$$