Упр.407 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 407. Точка D — середина основания АС равнобедренного треугольника АВС. На стороне АВ отметили точку М так, что АМ : МВ = 2 : 7. В каком отношении прямая BD делит отрезок СМ?

Подробный ответ

Так как $$ABC$$ — равнобедренный треугольник с основанием $$AC$$, а точка $$D$$ — середина основания, то $$BD$$ является и медианой, и биссектрисой угла $$B$$.

По условию $$AM:MB=2:7$$, значит

$$AB=AM+MB=\frac{2}{7}MB+MB=\frac{9}{7}MB.$$

Так как треугольник равнобедренный, то $$AB=BC$$, следовательно

$$BC=\frac{9}{7}MB.$$

Рассмотрим треугольник $$MBC$$. Прямая $$BD$$ проходит через вершину $$B$$ и делит угол $$MBC$$ пополам, значит по теореме о биссектрисе

$$\frac{MO}{OC}=\frac{MB}{BC}.$$

Подставим найденное отношение:

$$\frac{MO}{OC}=\frac{MB}{\frac{9}{7}MB}=\frac{7}{9}.$$

Следовательно, прямая $$BD$$ делит отрезок $$CM$$ в отношении $$7:9$$.