Упр.406 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 406. Стороны треугольника равны 39 см, 65 см и 80 см. Окружность, центр которой принадлежит большей стороне треугольника, касается двух других сторон. На какие отрезки центр этой окружности делит сторону треугольника?

Пусть окружность касается сторон $$AC$$ и $$BC$$ в точках $$F$$ и $$E$$, а её центр — точка $$O$$, лежащая на стороне $$AB$$.

Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, значит

$$OF \perp AC,\qquad OE \perp BC.$$

Кроме того, радиусы одной окружности равны, поэтому

$$OF=OE.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle OFC$$ и $$\triangle OEC$$. У них:

$$OF=OE,$$

$$OC$$ — общая сторона,

$$\angle OFC=\angle OEC=90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle OFC \cong \triangle OEC$$, откуда

$$\angle FCO=\angle ECO.$$

Значит, $$CO$$ — биссектриса угла $$C$$ треугольника $$ABC$$.

По теореме о биссектрисе:

$$\frac{AO}{BO}=\frac{AC}{BC}=\frac{65}{39}=\frac{5}{3}.$$

Пусть $$AO=5x$$, тогда $$BO=3x$$. Так как

$$AB=AO+BO=80,$$

получаем

$$5x+3x=80,$$

$$8x=80,$$

$$x=10.$$

Тогда

$$AO=5\cdot 10=50,$$

$$BO=3\cdot 10=30.$$

Ответ

$$AO=50\text{ см},\quad BO=30\text{ см}.$$