Упр.405 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

В треугольник $$АВС$$ вписан ромб $$CDEF$$ так, что угол $$C$$ у них общий, а вершины $$D$$, $$Е$$ и $$F$$ ромба принадлежат соответственно сторонам $$АС$$, $$АВ$$ и $$ВС$$ треугольника. Найдите стороны $$АС$$ и $$ВС$$, если $$АЕ=30\ \text{см}$$, $$BE=12\ \text{см}$$, а периметр треугольника равен $$105\ \text{см}$$.

Рассмотрим ромб $$CDEF$$. Его диагональ $$CE$$ делит угол при вершине $$C$$ пополам, значит, $$CE$$ — биссектриса угла $$C$$ треугольника $$ABC$$.

Найдём сторону $$AB$$:

$$AB=AE+BE=30+12=42.$$

По периметру треугольника $$ABC$$ имеем:

$$AB+BC+AC=105,$$

откуда

$$BC+AC=105-42=63.$$

Так как $$CE$$ — биссектриса, то по теореме о биссектрисе

$$\frac{AE}{AC}=\frac{BE}{BC}.$$

Подставим данные:

$$\frac{30}{AC}=\frac{12}{BC},$$

следовательно,

$$AC=\frac{30\cdot BC}{12}=2{,}5BC.$$

Тогда

$$BC+2{,}5BC=63,$$

$$3{,}5BC=63,$$

$$BC=18.$$

Теперь найдём $$AC$$:

$$AC=2{,}5\cdot 18=45.$$

Ответ

$$AC=45\text{ см},\quad BC=18\text{ см}.$$