Упр.402 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ ($$AB=BC$$) проведены медиана $$AM$$ и высота $$BH$$. Найдите $$BH$$, если $$AM=45\text{ см}$$, $$\angle CAM=30^\circ$$.

Так как $$AB=BC$$, треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой, поэтому $$BH$$ — и медиана, и высота.

Точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$, а точка $$O$$ — точка пересечения медиан треугольника. Тогда на медиане $$AM$$ выполняется отношение

$$AO:OM=2:1,$$

значит,

$$AM=AO+OM=3OM.$$

По условию $$AM=45$$ см, следовательно,

$$3OM=45,$$

$$OM=15$$ см.

Тогда

$$AO=2\cdot 15=30$$ см.

Аналогично на медиане $$BH$$:

$$BO:OH=2:1,$$

значит,

$$BH=BO+OH=3OH.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOH$$. Так как $$\angle CAM=30^\circ$$, а точки $$A, O, M$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle OAH=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOH$$

$$OH=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}\cdot 30=15$$ см.

Тогда

$$BH=3OH=3\cdot 15=45$$ см.

Ответ

$$45\text{ см}$$