Упр.402 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 402. В треугольнике АВС (АВ = ВС) проведены медиана АМ и высота BH. Найдите BH, если АМ = 45 см, угол CAM = 30°.
Так как $$AB=BC$$, треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой, поэтому $$BH$$ — и медиана, и высота.
Точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$, а точка $$O$$ — точка пересечения медиан треугольника. Тогда на медиане $$AM$$ выполняется отношение
$$AO:OM=2:1,$$
значит,
$$AM=AO+OM=3OM.$$
По условию $$AM=45$$ см, следовательно,
$$3OM=45,$$
$$OM=15$$ см.
Тогда
$$AO=2\cdot 15=30$$ см.
Аналогично на медиане $$BH$$:
$$BO:OH=2:1,$$
значит,
$$BH=BO+OH=3OH.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOH$$. Так как $$\angle CAM=30^\circ$$, а точки $$A, O, M$$ лежат на одной прямой, то
$$\angle OAH=30^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике $$AOH$$
$$OH=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}\cdot 30=15$$ см.
Тогда
$$BH=3OH=3\cdot 15=45$$ см.
Ответ
$$45\text{ см}$$