Упр.401 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 401. Докажите, что если две медианы треугольника равны, то этот треугольник — равнобедренный.

1) В треугольнике $$ABC$$ точка $$E$$ — середина стороны $$BC$$, а точка $$O$$ — точка пересечения медиан. Поэтому

$$AO:OE=2:1,$$

то есть $$AO=2OE.$$

Аналогично, так как $$CF$$ — медиана, получаем

$$CO:OF=2:1,$$

то есть $$CO=2OF.$$

По условию $$AE=CF$$. Но

$$AE=AO+OE=2OE+OE=3OE,$$

$$CF=CO+OF=2OF+OF=3OF.$$

Следовательно, $$3OE=3OF,$$ значит $$OE=OF.$$

Из равенств $$AO=2OE$$ и $$CO=2OF$$ получаем $$AO=CO.$$

2) Рассмотрим треугольники $$AOF$$ и $$COE$$.

У них

$$\angle AOF=\angle COE$$ — вертикальные углы,

$$AO=CO,$$

$$OF=OE.$$

Значит, $$\triangle AOF \cong \triangle COE$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$\angle FAO=\angle ECO.$$

3) В треугольнике $$AOC$$ имеем $$AO=CO,$$ значит он равнобедренный, и потому

$$\angle OAC=\angle OCA.$$

4) Теперь в треугольнике $$ABC$$:

$$\angle BAC=\angle FAO+\angle OAC,$$

$$\angle BCA=\angle ECO+\angle OCA.$$

Так как $$\angle FAO=\angle ECO$$ и $$\angle OAC=\angle OCA,$$ то

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Следовательно, $$AB=BC,$$ то есть треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Ответ

Если две медианы треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.