Упр.400 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Точки $$M$$ и $$K$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AD$$ параллелограмма $$ABCD$$ соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых $$BK$$ и $$DM$$ принадлежит диагонали $$AC$$.

Подробный ответ

1) В параллелограмме $$ABCD$$ диагонали пересекаются и делятся пополам. Значит, точка $$F$$ — середина диагонали $$BD$$, то есть

$$BF=DF.$$

По условию $$AM=BM$$, следовательно, $$M$$ — середина стороны $$AB$$. Аналогично, из $$AK=DK$$ получаем, что $$K$$ — середина стороны $$AD$$.

2) Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Точки $$M$$, $$K$$ и $$F$$ — середины его сторон $$AB$$, $$AD$$ и $$BD$$ соответственно. Поэтому отрезки $$DM$$, $$BK$$ и $$AF$$ являются медианами треугольника $$ABD$$.

3) Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Следовательно, точка пересечения прямых $$BK$$ и $$DM$$ лежит и на третьей медиане $$AF$$.

4) Так как в параллелограмме диагональ $$AC$$ проходит через середину диагонали $$BD$$ и точку $$F$$, то точки $$A$$, $$F$$ и $$C$$ лежат на одной прямой. Значит, $$AF \subset AC$$.

Итак, точка $$O=BK\cap DM$$ принадлежит диагонали $$AC$$.