Упр.397 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Основания трапеции равны $$12\ \text{см}$$ и $$22\ \text{см}$$. Найдите отрезки, на которые диагонали трапеции делят её среднюю линию.

Обозначим точки пересечения диагоналей с средней линией трапеции через $$F$$ и $$E$$, как на рисунке.

В трапеции $$ABCD$$ средняя линия $$KM$$ равна полусумме оснований:

$$KM=\frac{1}{2}(BC+AD)=\frac{1}{2}(12+22)=17.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Точки $$K$$ и $$F$$ — середины его сторон $$AB$$ и $$AC$$, значит $$KF$$ — средняя линия треугольника. Тогда

$$KF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 12=6.$$

Аналогично, в треугольнике $$DBC$$ точки $$E$$ и $$M$$ — середины сторон $$BD$$ и $$CD$$, поэтому $$EM$$ — средняя линия треугольника:

$$EM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 12=6.$$

Теперь найдём средний отрезок между ними:

$$KM=KF+FE+EM.$$

Подставим найденные значения:

$$17=6+FE+6,$$

откуда

$$FE=5.$$

Следовательно, диагонали делят среднюю линию на отрезки $$6$$ см, $$5$$ см и $$6$$ см.

Ответ

$$6\text{ см},\ 5\text{ см},\ 6\text{ см}$$