Упр.397 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 397. Основания трапеции равны 12 см и 22 см. Найдите отрезки, на которые диагонали трапеции делят её среднюю линию.

Подробный ответ

Обозначим точки пересечения диагоналей с средней линией трапеции через $$F$$ и $$E$$, как на рисунке.

В трапеции $$ABCD$$ средняя линия $$KM$$ равна полусумме оснований:

$$ KM=\frac{1}{2}(BC+AD)=\frac{1}{2}(12+22)=17. $$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Точки $$K$$ и $$F$$ — середины его сторон $$AB$$ и $$AC$$, значит $$KF$$ — средняя линия треугольника. Тогда

$$ KF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 12=6. $$

Аналогично, в треугольнике $$DBC$$ точки $$E$$ и $$M$$ — середины сторон $$BD$$ и $$CD$$, поэтому $$EM$$ — средняя линия треугольника:

$$ EM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 12=6. $$

Теперь найдём средний отрезок между ними:

$$ KM=KF+FE+EM. $$

Подставим найденные значения:

$$ 17=6+FE+6, $$