Упр.396 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 396. Диагонали трапеции пересекают её среднюю линию МК в точках Е и F. Докажите, что ME = KF.

В трапеции $$ABCD$$ отрезок $$KM$$ — средняя линия, значит точки $$K$$ и $$M$$ являются серединами боковых сторон:

$$AK=BK,\qquad CM=DM.$$

Пусть диагональ $$AC$$ пересекает $$KM$$ в точке $$F$$, а диагональ $$BD$$ — в точке $$E$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Точки $$K$$ и $$F$$ лежат на сторонах $$AB$$ и $$AC$$ соответственно, причём $$AK=BK$$ и $$AF=CF$$, значит $$K$$ и $$F$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$. Тогда $$KF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, поэтому

$$KF=\frac{1}{2}BC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$DBC$$. Точки $$M$$ и $$E$$ лежат на сторонах $$DC$$ и $$DB$$ соответственно, причём $$CM=DM$$ и $$BE=DE$$, значит $$M$$ и $$E$$ — середины сторон $$DC$$ и $$DB$$. Следовательно, $$ME$$ — средняя линия треугольника $$DBC$$, поэтому

$$ME=\frac{1}{2}BC.$$

Получаем:

$$ME=\frac{1}{2}BC=KF.$$

Следовательно, $$ME=KF$$, что и требовалось доказать.