Упр.394 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 394. Докажите, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам.

Подробный ответ

В трапеции $$ABCD$$ отрезок $$EF$$ — средняя линия, значит $$E$$ и $$F$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$, а также $$EF \parallel AD \parallel BC$$.

Рассмотрим диагональ $$AC$$. Прямая $$EF$$ пересекает стороны треугольника $$ABC$$ в их серединах: точку $$E$$ на стороне $$AB$$ и точку $$N$$ на диагонали $$AC$$. Тогда по теореме Фалеса точка $$N$$ является серединой диагонали $$AC$$, то есть

$$AN = CN.$$

Аналогично, в треугольнике $$BDC$$ прямая $$EF$$ пересекает стороны $$BD$$ и $$DC$$ в их серединах: точки $$K$$ и $$F$$. По теореме Фалеса получаем, что $$K$$ — середина диагонали $$BD$$, следовательно

$$BK = DK.$$

Таким образом, средняя линия трапеции делит обе её диагонали пополам.