Упр.393 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Сторона $$DE$$ треугольника $$DEF$$ разделена на три равных отрезка, и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне $$DF$$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику $$DEF$$, если $$DF = 15\text{ см}$$.

Обозначим точки деления стороны $$DE$$ так, что $$DM=MN=NE$$. Через точки $$M$$ и $$N$$ проведены прямые $$MG$$ и $$NH$$, параллельные стороне $$DF$$.

По теореме Фалеса получаем, что отрезки на стороне $$FE$$ также делятся на три равные части:

$$FG=GH=HE.$$

Рассмотрим треугольник $$MEG$$. Так как $$MN=NE$$, то точка $$N$$ — середина отрезка $$ME$$. Кроме того, $$NH \parallel DF$$, а значит $$NH \parallel MG$$. Следовательно, в треугольнике $$MEG$$ отрезок $$NH$$ является средней линией, поэтому

$$MG=2NH.$$

Теперь рассмотрим трапецию $$FHND$$. В ней $$FG=GH$$, значит точка $$G$$ — середина стороны $$FH$$. Также $$DM=MN$$, значит точка $$M$$ — середина стороны $$DN$$. Тогда $$MG$$ — средняя линия трапеции, и

$$MG=\frac{1}{2}(DF+NH).$$

Подставим $$MG=2NH$$ и $$DF=15$$:

$$2NH=\frac{1}{2}(15+NH)$$

$$4NH=15+NH$$

$$3NH=15$$

$$NH=5.$$

Тогда

$$MG=2\cdot 5=10.$$

Ответ

$$MG=10\text{ см},\ NH=5\text{ см}.$$