Упр.392 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Основания трапеции равны $$16\text{ см}$$ и $$28\text{ см}$$. Одна из боковых сторон разделена на три равных отрезка, и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие трапеции.

Пусть точки деления боковой стороны разбивают её на три равные части: $$BG=GH=HA$$ и $$CE=EF=FD$$.

Рассмотрим трапецию $$AGED$$. В ней отрезок $$HF$$ соединяет середины боковых сторон, значит, $$HF$$ — средняя линия трапеции. Тогда

$$HF=\frac{1}{2}(AD+GE).$$

Подставим $$AD=28$$:

$$HF=\frac{1}{2}(28+GE),$$

откуда

$$2HF=28+GE.$$

Теперь рассмотрим трапецию $$HBCF$$. В ней отрезок $$GE$$ также соединяет середины боковых сторон, значит, $$GE$$ — средняя линия трапеции. Тогда

$$GE=\frac{1}{2}(HF+BC).$$

Подставим $$BC=16$$:

$$2GE=HF+16.$$

Из первого равенства выразим $$GE$$:

$$GE=2HF-28.$$

Подставим во второе:

$$2(2HF-28)=HF+16,$$

$$4HF-56=HF+16,$$

$$3HF=72,$$

$$HF=24.$$

Тогда

$$GE=2\cdot 24-28=20.$$

Ответ

$$GE=20\text{ см},\quad HF=24\text{ см}.$$