Упр.390 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$AB=BC$$, $$AC=8\text{ см}$$, $$AD$$ — медиана, $$BE$$ — высота, $$BE=12\text{ см}$$. Из точки $$D$$ опущен перпендикуляр $$DF$$ на сторону $$AC$$. Найдите отрезок $$DF$$ и угол $$\angle ADF$$.

Подробный ответ

Так как $$AB=BC$$, то треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Значит, $$BE \perp AC$$ и точка $$E$$ — середина отрезка $$AC$$.

Тогда

$$AE=EC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 8=4.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BDF$$ и $$BEC$$. У них

$$\angle BFD=\angle BEC=90^\circ,$$

а также $$\angle DBF=\angle CBE$$, так как точки $$D$$ и $$C$$ лежат на одной прямой $$BC$$, а точки $$F$$ и $$E$$ — на одной прямой $$AC$$. Следовательно, треугольники $$BDF$$ и $$BEC$$ подобны.

Из подобия получаем

$$\frac{DF}{BE}=\frac{BD}{BC}.$$

Но в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ медиана $$AD$$, проведённая к боковой стороне $$BC$$, делит её пополам, поэтому $$BD=DC$$. Тогда в треугольнике $$BEC$$ отрезок $$DF$$ является средней линией, а значит

$$DF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}\cdot 12=6.$$

Теперь найдём угол $$\angle ADF$$. Так как $$DF \perp AC$$, то $$\angle AFD=90^\circ$$. Кроме того, в прямоугольном треугольнике $$AFD$$ точка $$F$$ — середина основания, поэтому

$$AF=AE+EF.$$

Из равенства соответствующих отрезков получаем $$EF=\frac{1}{2}CE=2$$, значит треугольник $$AFD$$ равнобедренный, и его острые углы равны. Тогда

$$\angle ADF=\frac{1}{2}\cdot 90^\circ=45^\circ.$$