Упр.389 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 389. Отрезок ВМ — высота ромба ABCD, проведённая к стороне AD, угол A = 45°, АМ = 8 см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до стороны AD.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMB$$. Так как $$BM$$ — высота ромба, то $$BM \perp AD$$, а значит $$\angle AMB=90^\circ$$. При этом $$\angle A=45^\circ$$, следовательно, $$\angle ABM=90^\circ-45^\circ=45^\circ$$.

Значит, треугольник $$AMB$$ равнобедренный, и потому

$$BM=AM=8\text{ см}.$$

В ромбе диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому точка $$O$$ — середина диагонали $$BD$$. Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$O$$ на сторону $$AD$$. Тогда $$OH \perp AD$$, а также $$BM \perp AD$$, значит $$OH \parallel BM$$.

В треугольнике $$BMD$$ точка $$O$$ — середина стороны $$BD$$, а прямая через середину стороны, параллельная второй стороне, проходит через середину третьей стороны. Следовательно, $$OH$$ — средняя линия треугольника $$BMD$$, и

$$OH=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}\cdot 8=4\text{ см}.$$