Упр.388 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 388. Расстояние от середины хорды ВС до диаметра АС равно 3 см, угол BAC = 30°. Найдите хорду АВ.

Пусть $$M$$ — середина хорды $$BC$$, а $$BM \perp AC$$. Тогда точка $$M$$ лежит на диаметре $$AC$$, и отрезок $$BM$$ равен расстоянию от середины хорды $$BC$$ до диаметра $$AC$$:

$$BM=3\text{ см}.$$

Так как $$AC$$ — диаметр окружности, то вписанный угол, опирающийся на него, прямой:

$$\angle ABC=90^\circ.$$

В треугольнике $$ABC$$ дано $$\angle BAC=30^\circ$$, значит, это прямоугольный треугольник с углом $$30^\circ$$. Тогда катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$BC=\frac{1}{2}AC.$$

Поскольку $$M$$ — середина хорды $$BC$$, то $$BM=\dfrac{BC}{2}$$. Следовательно,

$$BC=2BM=2\cdot 3=6\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ сторона $$AB$$ лежит против угла $$60^\circ$$, поэтому она равна

$$AB=BC\sqrt{3}.$$

Но удобнее воспользоваться свойством треугольника $$30^\circ-60^\circ-90^\circ$$: если катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен $$3\text{ см}$$, то гипотенуза вдвое больше, а второй катет в $$\sqrt{3}$$ раза больше этого катета. Так как $$BC=6\text{ см}$$, получаем

$$AB=6\cdot 2=12\text{ см}.$$

Ответ

$$12\text{ см}$$