Упр.383 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 383. Высота равностороннего треугольника равна 12 см. На каком расстоянии от сторон треугольника находится точка пересечения его биссектрис?

Подробный ответ

В равностороннем треугольнике высота, биссектриса и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают. Значит, $$AE$$ и $$BF$$ — одновременно высоты, биссектрисы и медианы, причём $$BF=12$$ см.

Точка пересечения биссектрис $$O$$ делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины, поэтому

$$AO:OE=2:1,$$

откуда $$AO=2OE$$.

Так как $$AE=BF=12$$, то

$$OE=AE-AO.$$

Подставим $$AO=2OE$$:

$$ OE=12-2OE \\ 3OE=12 \\ OE=4 $$

Следовательно, точка пересечения биссектрис находится на расстоянии $$4$$ см от сторон треугольника.