Упр.381 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 381. Докажите, что средняя линия треугольника АВС, параллельная стороне АС, делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину В с произвольной точкой стороны АС.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$DE$$ — средняя линия треугольника, то $$D$$ и $$E$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$ соответственно, а значит, $$DE \parallel AC$$.

Пусть $$F$$ — произвольная точка стороны $$AC$$, а прямая $$BF$$ пересекает среднюю линию $$DE$$ в точке $$O$$.

Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$DE$$ параллелен стороне $$AC$$, поэтому по теореме Фалеса для двух секущих $$BD$$ и $$BF$$ получаем:

$$\frac{BD}{BO}=\frac{AD}{FO}.$$

Так как $$D$$ — середина стороны $$AB$$, то $$AD=BD$$. Подставим это в равенство:

$$\frac{BD}{BO}=\frac{BD}{FO}.$$

Следовательно, $$BO=FO$$.

Значит, точка $$O$$ — середина отрезка $$BF$$, то есть средняя линия $$DE$$ делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину $$B$$ с произвольной точкой стороны $$AC$$.