Упр.366 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Высота $$BM$$ ромба $$ABCD$$, опущенная из вершины тупого угла на сторону $$AD$$, пересекает диагональ $$AC$$ в точке $$K$$, угол $$BKC=64^\circ$$. Найдите угол $$ABC$$.

Так как прямые $$BM$$ и $$AC$$ пересекаются в точке $$K$$, то углы $$\angle AKM$$ и $$\angle BKC$$ — вертикальные. Следовательно,

$$\angle AKM=\angle BKC=64^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AKM$$. Поскольку $$BM$$ — высота ромба, то $$BM \perp AD$$, значит $$KM \perp AM$$ и

$$\angle KAM+\angle AKM=90^\circ.$$

Тогда

$$\angle KAM=90^\circ-64^\circ=26^\circ.$$

В ромбе диагональ $$AC$$ является биссектрисой угла $$A$$, поэтому

$$\angle BAD=2\angle CAD=2\angle KAM=2\cdot 26^\circ=52^\circ.$$

Смежные углы ромба в сумме дают $$180^\circ$$, значит

$$\angle ABC+\angle BAD=180^\circ.$$

Отсюда

$$\angle ABC=180^\circ-52^\circ=128^\circ.$$

Ответ

$$128^\circ$$