Упр.365 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

8. В треугольнике $$ABC$$ отрезок $$AD$$ — биссектриса. Через точку $$D$$ проведена прямая, которая параллельна стороне $$AC$$ и пересекает сторону $$AB$$ в точке $$E$$. Через точку $$E$$ проведена прямая, которая параллельна стороне $$BC$$ и пересекает сторону $$AC$$ в точке $$F$$. Докажите, что $$AE = CE$$.

Подробный ответ

Рассмотрим четырёхугольник $$EDCF$$. По условию $$ED \parallel AC$$, а так как $$F \in AC$$, то $$CF \parallel ED$$. Кроме того, $$EF \parallel BC$$ и точки $$D \in BC$$, значит $$DC \parallel EF$$.

Следовательно, в четырёхугольнике $$EDCF$$ обе пары противоположных сторон параллельны, значит $$EDCF$$ — параллелограмм. Тогда

$$ED=CF.$$

Теперь рассмотрим прямые $$AC$$ и $$ED$$, которые пересечены секущей $$AD$$. Так как $$ED \parallel AC$$, то

$$\angle EDA=\angle CAD.$$

Но $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, значит

$$\angle CAD=\angle DAB.$$

Точка $$E$$ лежит на прямой $$AB$$, поэтому луч $$AE$$ совпадает с лучом $$AB$$, и, следовательно,

$$\angle DAB=\angle EAD.$$

Значит, в треугольнике $$AED$$ углы при основании равны:

$$\angle EDA=\angle EAD.$$

Следовательно, треугольник $$AED$$ равнобедренный, поэтому

$$AE=ED.$$