Упр.364 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 364. Через середин диагонали АС параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD. Эта прямая пересекает прямые АВ и CD в точках М и К соответственно. Определите вид четырехугольника АМСК.

Подробный ответ

В параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$AB \parallel CD$$ и $$AB=CD$$. Точка $$O$$ — середина диагонали $$AC$$, значит $$AO=CO$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AOM$$ и $$\triangle COK$$.

Так как прямая $$MK$$ проходит через точку $$O$$, то углы $$\angle AOM$$ и $$\angle COK$$ — вертикальные, следовательно, $$\angle AOM=\angle COK$$.

Кроме того, поскольку $$AB \parallel CD$$, а $$AC$$ — секущая, то $$\angle BAO=\angle DCA$$. Тогда

$$\angle MAO=180^\circ-\angle BAO,$$

$$\angle KCO=180^\circ-\angle DCO=180^\circ-\angle DCA,$$

значит $$\angle MAO=\angle KCO$$.

Итак, в треугольниках $$AOM$$ и $$COK$$ равны две пары углов и сторона между ними:

$$AO=CO,$$

следовательно, $$\triangle AOM \cong \triangle COK$$ по второму признаку равенства треугольников. Отсюда

$$AM=CK.$$

Так как точки $$M$$ и $$K$$ лежат на одной прямой, проходящей через середину диагонали параллелограмма, то получаем $$AM \parallel CK$$. Тогда в четырёхугольнике $$AMCK$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, значит $$AMCK$$ — параллелограмм.