Упр.363 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 363. На боковых сторонах трапеции, в которую можно вписать окружность, как на диаметрах построены две окружности. Докажите, что эти окружности имеют одну общую точку.

Подробный ответ

Обозначим через $$E$$ и $$F$$ середины отрезков $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Тогда, так как $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры окружностей, получаем:

$$AE=EB,\qquad CF=FD.$$

Поскольку в трапеции $$ABCD$$ боковые стороны $$AB$$ и $$CD$$ являются основаниями окружностей, а трапеция описана около окружности, то для неё выполняется свойство касательного четырёхугольника:

$$AD+BC=AB+CD.$$

Отрезок $$EF$$ соединяет середины боковых сторон трапеции, значит, $$EF$$ — её средняя линия. Поэтому

$$EF=\frac12(AD+BC)=\frac12(AB+CD).$$

Пусть радиусы данных окружностей равны $$R_1$$ и $$R_2$$. Тогда, так как $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры, имеем

$$AB=2R_1,\qquad CD=2R_2.$$

Подставим это в формулу для средней линии:

$$ EF=\frac12(2R_1+2R_2)=R_1+R_2. $$

Но $$EO=R_1$$ и $$FO=R_2$$, так как точка $$O$$ — общая точка окружностей, лежащая на прямой $$EF$$. Следовательно,

$$EF=EO+FO.$$

Значит, точка $$O$$ лежит между $$E$$ и $$F$$ и расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов. Поэтому окружности касаются внешним образом и имеют ровно одну общую точку.